labor 뉴스

 

=수월의 나나미=

<지식은 보이지 않는 곳에>

 

 

턱군의 요청을 모셔 새로운 마음으로 수학을 시작하겠습니다 -_-;; 최근 논리학을 배우며 고등학교때의 수학 생각이 모락모락 나던데. 마침 기수불 기말불 이야기가 나왔기에 엉성하게나마 기억나는 문제 공략법, 종종걸음으로 기다릴 사람을 위해 어서어서 시작하도록 하겠습니다.

 

그렇게 거창한 이야기는 아닙니다. 수학이란 기본 공식으로 먹고 사는, 최소한 수능 '수학-나'형에서는 통용되는 이야기입니다. 더군다나 요즘 수리가 쉬워지는 경향이 있으므로 기본 공식 하나면 다 오케이 되는 것입니다. 단지 그 공식을 응용하는 문제가 심도있어지므로 풀이를 보면 정말 말 몇마디 써놓고 풀이가 되는 문제가 수두룩합니다(문제집 만드는 입장에선 편하겠지요).

 

그렇다면 어떻게 푸느냐~ 복잡한 방법보다는 출제자의 의도대로 기본 공식을 이용해서 풀어주는 것입니다. 물론 실수와 누락이 생기지 않으려면 그 과정들을 충분히 연마해야겠지요. 그런 면에선 저의 지금의 풀이가 완벽할진 몰라도 실전에 다시 임하라고 하면 전성기때(?)의 풀이 실력을 따라 갈 수는 없겠죠.

 

확실히 여기다 다 써올리긴 힘든 부분이기도 합니다. 학교 스캐너가 있으니 그걸 이용하면 설명이 간단해지겠지만... [지금이라도!] 등비급수의 의미를 확실히 하기를 바라는 바로, 등비급수를 써야 하는 부분엔 주저 없이 쓸 수 있어야 한다는 것입니다. 물론 몇 가지 이해과정이 더 들어간다고 시간이 훨씬 걸리는 건 아니지만, 만약 써야 할 때 못 쓰면 한없이 못 풀 게 되는 문제가 등비급수니 말입니다.

 

확실히 등비급수 응용의 결정인 도형에의 응용, 적금, 그리고 적금 문제를 꼰 상환, 연금은 장난스런 극한 문제와 함께 수능 및 모의고사의 단골문제이기도 하지요. 특히 적금 쪽은 한 문제 내고 싶어지는 그런 부문이라 더더욱 그렇지요. 실생활에의 적용도 그렇지만 무엇보다도 등비수열의 성질을 아주 적절하게 이용하고 있달까. 그럼 지금부터 적금 문제의 기본을 먼저 파고들어 보겠습니다.

 

 

적금은 달 마다 은행에 돈을 입금하고, 적금 만기일에 모았던 돈과 이자를 함께 받는 일종의 예금이죠. 여기서 이자는 '복리'로 계산되는데 그 이유라면 은행 문지방을 아끼기 위해서라나 뭐라나.

 

'단리'로 이자를 계산하면 이자에 붙는 이자가 계산이 안되므로 한 달마다 돈을 뺏다 도로 넣었다 하는 번거로움이 생기게 되죠. 이런 복리 때의 이자율을 r이라고 뒀을 때 n개월 후의 원금a의 원리합계는 . 여기서 팍팍 필이 올 것입니다. 바로 등비수열의 일반항. 완전 빼다 박은 모양입니다 -_-;;

 

그런데 이 n개월 후라는 것이 약간 애매성을 가지고 있답니다. 바로 기수불과 기말불의 개념 때문인데요. 예금을 1월 1일에 넣고 1월 31일에 돈을 찾게 된다면... 엄밀히 말하자면 이자가 붙습니다. 물론 2월 1일에도 같은 이자가 있겠죠. 하루의 차이는 어떻게 볼 것이냐 하는 문제인데 기말불일때는 1월 31일 24시, 기수불일때는 2월 1일 0시라고 보면 같은 시각에 이자가 붙는다고 생각하면 똑같은 말을 다르게 한다는 것을 알 수 있습니다.

 

여기서 기수불과 기말불의 차이를 볼 수 있는데, n개월 후를 가리킬때, 기말불과 기말불 사이 개념차이 때문에 한 달의 차이를 가리킬 수가 있다는 것입니다. 바로 적금의 예를 들어 살펴보도록 하겠습니다.

 

 

한 달마다 10만원씩 입금하는 적금

1월 1일에 적금 시작

기수불

적금 만기일 12월 31일

이자율 3%

적금으로 돌려받는 금액

 

 

요소문장을 정리해봤는데, 마지막 질문 내용은 변형할 여지가 충분합니다. 예를 들어 언제 적금액이 200만원을 돌파하겠는가, 혹은 12개월간 300만원을 돌려받으려면 얼마씩 적금해야 하는가. 응용문제이긴 하지만 기본 공식, 즉 등비급수의 일반항을 마음속에 꼭꼭 챙겨두셨다면... 네모 칸 그려놓고 빈칸 채우기입니다 -_-;;;

 

위의 문제를 등비수열에 써먹기 위해선 일단 등비수열의 일반항을 끌어내는 게 좋겠습니다. 일반항만 알면 등비급수는 그냥 텅 나오지요. 그렇다면 초항을 a, 이자율을 r, 입금 횟수 n, 원리합계를 S로 두고 시작하겠습니다.

 

적금에서는 ‘가장’ 중요한 것이 초항입니다. 혹 문제집만 실컷 파셨다면 기수불일 땐 초항이 a(1+r), 기말불일 땐 초항이 a라는 것 정도는 꿰셨을 겁니다. 그러나 문제를 거기서 약간만 더 꼬아도, 혹은 상환이나 연금 문제가 나올 경우 심각하게 장애에 부닥치게 되죠. 지금이라도 늦지 않았으니 교과서부터 다시 돌아 볼 필요가 있는 것입니다(농담 아니고 진짜로).

 

일단 기본 마인드는 위에 나온 복리법 계산과 동일합니다. 몇 달 후엔 얼마만큼의 이자가 붙었을 것이다. 그렇다면 적금의 경우는 어떨까요. 이번엔 반대로 받는 날짜로부터 계산해봅시다. 즉 받는 날짜로부터 오래된 돈일수록 이자가 많이 붙겠죠? 은행에서 한 달 묵은 돈 보다 열 달 묵은 돈이 (복리법이므로 일반항을 통해 계산해보세요).

 

그럼 적금 만기일로부터 거꾸로 들어가봅시다. 중심이 기수불, 즉 월 초에 입금을 해야 하므로 1일을 중심으로 봅시다. 초항인즉, 12월 1일에 예금한 금액, 즉 a(1+r)이 됩니다. 12월 31일에 돈을 찾으므로 돈이 한달 묵게 된다는 것이죠. 그리고 이제 한달 씩 거슬러 가봅시다. 11월 1일, 10월 1일, 9월 1일… 손가락이라도 동원해서 세다 보면 총 항, 즉 입금 횟수가 12회라는 걸 알 수 있죠(기말불 과의 계산 오류를 피하기 위해).

 

이로써 등비수열의 일반항의 재료가 준비되었습니다.

 

초항 : 10만원X(1+0.03)

공비 : 1+0.03

항 개수 : 12

 

등비수열의 일반항을 적자면

 

 

정도입니다만 실제 계산에선 필요도 없을뿐더러 헷갈리므로 그냥 위에 적은 세 가지만 가지고도 식을 구성할 수 있습니다. 바로 등비급수의 공식인데… 기본 공식은 잊어버리진 않으셨겠으나 상기시키는 차원에서 다시 적어보겠습니다.

 

 

 

다시 보니 꽤나 정겹습니다;; 그리고 기수불 기말불 때문에 적금용으로 짜깁기 한 공식도 있는데 주로 이 공식을 쓰실 겁니다.

기수불 >>    기말불 >>    

 

뭐… 초항만 살짝 다를 뿐이지만 여차 말을 꼬아놔서, 즉 적금 만기일이 12월 1일이라거나 할 경우, 공식만 가지고 보면 백방 실수 나므로 너무 의존하기 보단, 이것이 기수불인지 기말불인지 확실히 판단하시고 쓰시길 바랍니다. 유감스럽게도 요즘 수능은 기본 공식을 모르고나 계산 시간에 쫓기진 않도록 만들어졌기 때문에 자잘한 실수나 판단착오가 큰 결과를 부르곤 하니까요(제 예상컨대 이번엔 연금이나 상환 문제가 나오지 않을까 싶습니다. 혹은 적금이란 단어 대신 다른 단어를 쓰거나).

 

역시 기본 중의 기본, 등비급수 공식이 용자입니다. 등비급수의 공식을 쓰든 후자의 공식들을 쓰든 맘대로지만 확신이 있다면 후자를 쓰면 편합니다. 조금이나마 시간을 단축시켜주므로.

 

 

 

 

노파심에서 하는 이야기지만 공식에 들어가는 건 분명 n-1이 아닌 n입니다;; 등비수열의 일반항이 생각나도 좀 참고, 등비급수 공식 정도는 달달 외워주는 센스를 -_-;; 계산은 귀찮으므로 계산기 돌립니다. 무엇보다 ‘1.03을 12제곱 해라’는 문제 하나만으로도 종칩니다. 실제 수능에선 분명 값을 알려주고 하니. 정작 헷갈리면 때려 넣어도 되지만 살짝 ‘1.03의 11제곱’만 알려줄 수도 있으니;; 싫어도 밟아주고 건너줍시다.(참고로 1.03의 12제곱은 1.43입니다)

 

답 : 1476000

 

나누어 떨어지질 않아서 약간 난감한 문제네요. 직접 풀진 마시길. 문제집에서 질리도록 풀었고, 또 풀 테니 괜히 허접 문제에 매달릴 필요는 없지요. 단지 문제를 보면서 중요한 단어 단어를 놓치지 말기를. 그게 답의 단서일테니까요.

 

 

 

다음 응용문제로 넘어가보죠. 바로 상환문제입니다. 턱군이 요청해온 부분이기도 한데… 이것도 기본 꿍꿍이는 같습니다. 원리합계인 셈이죠. 단지 이번엔! 초항이 기수불이든 기말불이든 a입니다. 그 이유는, 아무리 기수불이어도, 값으면 그날로 땡이니까요. 적금 만기일이 12월 1일이란 말과 같습니다(기수불 기말불이라는 단어에 얽매이지 말라는 이야기가 바로 이런 것). 이미 값은 돈에 이자를 붙일리는 없으니 그건 신경 쓸 거 없다는 거죠.

 

단지 여기선 한 가지 더 고려해야 할 점이 생깁니다. 이젠 원리 합계에도 이자가 붙습니다. 괜히 복잡한 거 아니냐, 100만원만 먹고 떨어질 것이지 거기에 이자는 왜 또 붙여~라고 할 수도 있겠으나. 실제 세상, 경제 논리로 본다면 당연한 이야기입니다. 100만원을 미리 확 받아서 은행에 넣어두면 이자가 붙을텐데 나눠받느라 그 이자를 못 받게 되었다, 그건 불합리 한 거죠. 즉 상환자가 값아야 할 100만원을 은행에 박아뒀을 때 기대할 수 있는 이자까지 쳐주는 것입니다(그래서 무이자 할부가 좋은 것입니다;;).

 

그런데 이 이자란 것이 장난을 칠 수가 있습니다. 예의 적금처럼 이건 기수불, 기말불의 영향을 받는다는 거죠. 즉 1월 1일에 상환이 시작되고 1월 1일에 첫 상환금 지급, 그리고 12월 1일에 상환이 완료되는 기수불의 경우 1년 12달이 모두 계산되는 것이 아니라… 11달만 계산된다는 것이죠. 앞에서 말한 듯 12월 1일에 돈을 값으면 끝이니까요. 즉 원리합계는 100만원에 11달짜리 이자만 붙게 됩니다.

 

그러나 1월 1일에 상환이 시작되고 1월 31일에 첫 상환금 지급, 그리고 12월 31일에 상환이 완료되는 기말불의 경우 12달 꽉 채우게 되죠. 그러므로 12개월 치 이자를 100만원에 붙여 주는 것입니다. 조금 복잡하지만 일반항을 한 번 살펴볼까요?

 

 

상환금의 총 합 : S

한 번에 상환하는 금액 : a

이자율 : r

항 개수(납부 횟수) : n

 

 

기수불 :    기말불 :  

 

즉 12번 돈을 내는 상환에서는, 상환이 시작되자마자 돈을 낸 경우(기수불)엔 상환금 합계에 붙는 이자의 기한이 하나 줄게 됩니다. 우변의 나온 원리합계 공식은 똑같고요. 똑같다 해서 기수불 기말불 답까지 똑같아지는 건 아니니 ‘반드시’ 유념해서 계산하셔야 합니다.

 

오류생길 거 같다 싶으면 상환금 합계가 이자붙는 것까지 생각해보는 겁니다. 그림을 그리는 것이 이해를 돕기에 가장 좋겠지만, 여타 교과서나 책에도 설명이 되어 있을 터 이므로 말로써 대신합니다. 기말불의 경우 1월 1일과 1월 31일까지의 공백이 생깁니다. 즉 그 기간까지 포함해서 12개월 동안 지급한다고 보면 됩니다.

 

매우 엉성한 예제를 함 볼까요;;

 

 

1월 1일에 상환 시작

1월 1일에 최초로 상환금 지급

아홉 달 동안 상환

총 상환액 300만원

이자율 5%

 

 

일부러 함정 비스무리한 것도 넣었는데, 그다지 함정 같진 않습니다;; 아홉 달 동안 상환이라고 했는데 그냥 처음에 한번 더 내니까, 열 번 나눠서 낸다고 이해하시면 편하겠습니다. 단지 총 상환금에 대한 이자는 아홉 달 어치가 붙습니다. 즉 [(납부횟수)-1=(이자붙는 횟수)]이라는 것이죠(기수불의 일반항 참고).

 

그럼 바로 일반항에 대입하도록 하겠습니다.

 

 

 

a= 62.5만원(계산하지 마시오)

 

 

좋은 문제는 문제집에도 많으니까;; 아무리 쉬운 문제집이라도 한 문제쯤은 다루고 있으니 그 문제를 토대로 등비급수 공식의 변화를 확실히 익혀두세요. 특히 상환금의 총 액수에도 이자가 붙는다는 사실은 잊지 마시고요~!!!!!!

 

그리고 기수불의 경우 1월 1일과 12월 1일, [(선분의 수)=(꼭지점의 수)-1]와 같은 추세를 보입니다. 이 생각 과정이 복잡하다 싶으면 그냥 세어보셔도 괜찮습니다만;; 그림을 그려 이해를 확실히 하는 편을 추천합니다. 만약 ‘상환이 1월 31일에 시작된다’라는 식으로 나오면 또 다시 생각을 해야 하니까요. 시간이 없는 만큼 여기에 대한 이해가 더디다면 그냥 처음부터 한다 생각하시고, 엉성하게 외운 부분은 다 잊으시길. 시험 시간에 침착하게 세어본다면 분명 실수 없이 풀 수 있는 문제니까요.

 

 

 

그리고 마지막 대망의 연금… 이어야 하는데 이건 그냥 적금 거꾸로입니다. 정확히는 연금의 현가 문제, 즉 한 달마다 10만원씩 20년간 받는 연금이 있다면, 이걸 지금 확 당겨 받으면 얼마나 될까 하는 걸 계산하는 겁니다. 이것도 역시 수직선을 그려가며 이해하는 편이 좋겠지만 역시 턱군의 요청이 다시 있다면 첨부 하도록;;

 

연금은 적금과는 반대인 만큼… 그냥 항을 일일이 나열하면 편해 보일 것입니다(적금의 경우 기본 문제인지라 딱히 첨부하진 않았지만).

 

 

2001년 1월 1일부터 2010년 1월 1일까지 받을 연금의 2001년 1월 1일자 현가

기수불

1년에 500만원

이자율 10%

 

 

이번엔 제대로 문제가 될 것이라 믿고 -_-;;

받게 될 연금의 총 금액이라 하면 초등학생 3학년이면 풀 수 있습니다. 500x10, 5천만원이죠. 그런데 이 연금의 2001년 1월 1일에 확 끌어서 받을 경우 얼마나 받게 되느냐 하는 것이지요. 적금 파기랑 비슷한 것일 지도. 하지만 붕어빵 가게나 연금 공단이 고갈 나면 건물 띄워야 합니다(?)

 

이번엔 2001년 1월 1일에 몰아서 받기로 했으니 그 날을 중심으로 계산해야 합니다. 혹시 2003년에 몰아받는 금액이라 할지라도 2001~02년, 2003~10년으로 나누어 계산하시면 구할 수 있겠지요. 뭐 이렇게 어렵게 나오진 않겠지만요. 단지 연금의 현가의 개념 정도는 알아둬야 복병에 대비하겠죠?

 

일단 2001년 1월 1일, 그리고 2002년 1월 1일, 2003년 1월 1일에 받는 연금은 모두 똑같은 500만원입니다. 즉 당해 받는 연금은 시간의 경과에 따라 붙게 된 이자까지 합쳐서 500만원이라는 계산이 됩니다. 고로 지난 {(연도 수에 따른 이자)+(연금의 현가)=500만원}이라는 것이죠. 단지 이렇게 연금의 현가를 일일이 계산해서 더하는 방법도 못할 건 없지만 수능에서 이렇게 풀면 자살행위입니다 -_-; 등비급수 문제 맞고요. 그럼 그렇게 푸는 방법을 생각해 보는 거죠.

 

우선 2001년 1월 1일에 받는 연금의 현가를 알아봅시다… 라지만 이건 당장에 500만원 떨어지는 거죠. 복잡하게 생각할 거 없습니다. 연금의 현가를 계산하는 당일 딱 주다니, 즉 초항은 500만원이라는 것, 너무 쉽게 나온 걸까요. 둘째 항이 문제이긴 하지만 이건 또 어떤가요. 연금의 현가를 X로 두고 원리합계를 S로 둔다면, 원금과 이자율이 있을 때 원리합계 구하는 공식이 있잖습니까. 그걸 이용해 연금의 현가를 바로 도출해보도록 하겠습니다.

  

 

 

뭐지, 라고 생각하시는 분도 계시겠으나… 일단, 그냥 넘어가주죠 -_-; 본격적인 라운드는 3라운드부터입니다. 무한급수를 구한다 해도 3라운드까지는 꼭 가주시길. 2항부터 등비수열을 이루는 경우가 종종 함정문제로 나오곤 하니까요!

 

 

 

 

이제 감이 오실 겁니다. 이 이상은 보나마나 등비구나 하는 걸. 산업혁명식 등비수열이라나 뭐라나. 단지 이번엔 거꾸로 생각하는 쪽, 즉 분수꼴이 나온다는 점에서 약간 조심해야하려나요. 그러나 연금의 현가도 마찬가지로 등비수열의 합입니다. 단지 이건 근래에 받을 수 있는 연금의 현가보다, 먼 미래에 받을 수 있는 연금의 현가가 적다는 점을 먼저 이해하시고 시작하셨으면 하네요.

 

초항 : 500만원

공비 :

항 개수 : 10

 

 

 

 

역시 자세한 계산은 계산기입니다만-_-; 기본은 역시 등비급수입니다. 분수꼴이라 복잡해보이지만 공비가 분수일 뿐 그다지 특별한 점은 없습니다. 단지 이건 적금과는 반대로 기말불일 때의 초항이 .

 

 

 

일반항은 다음과 같습니다.

 

기수불 :    기말불 :  

공식을 억지로 외우기 보단 분수꼴이 나온다는 것만 기억해두시면 되겠습니다. 이걸 다 외우느니 시험지 위에 풀이처럼 하나씩 써보면 규칙이 보이니까요(그리고 공비가 분수이므로 식을 약간 변형하였는데 음수가 분자와 분모에 나와 같은 식임에도 약간 복잡해지므로 순서를 바꾼 것입니다). 물론 책에는 연금의 현가를 구하는 공식으로 이렇게 설명 되어 있겠고요.

 

 

 

적금류의 문제를 풀 때, 특히 기말불의 경우, 문제에 쓰인 단어를 조심해야 합니다. 1항이 존재하지 않는 경우, 혹은 2항부터 등비수열을 이룰 수 있는 예외적인 문항이 나올 수 있습니다. 그리고 n이 연도나 월 수가 아닌, 납부 및 이자 붙는 횟수를 가리킨다는 걸 명심 또 명심하시고요(둘이 같은 의미로 쓰일 때가 많지만 다른 부분을 가리키는 문제도 있으므로). 그리고 문항 속에서 단서를 최대한 끄집어내는 연습을 마지막 날까지 꾸준히 하도록 합시다~

 

 

 

문제를 풀 때 정말 중요한 것은 기본 공식, 그리고 감각입니다. 뭣한 이야기지만 요행으로 복잡한 공식으로 문제를 맞추려 하면 약간만 변태한 문제를 만나면 바로 적용 불가가 되니까요. 기본 공식을 깔아둔 바탕에서 맞출 수 있는 공식으로 변형, 그리고 적용하면 단번에 답이 끌려 나오는 경우가 문제의 대부분을 차지합니다. 문제를 해석하는 능력은 역시 감각이지만, 이건 선천적인 것이라기 보단 시험 당일의 컨디션, 그리고 그 전날까지 쌓아온 기량에 비례하는 것입니다.

 

수학을 잘 하는 학생들을 살펴보면 계산 속도는 평균보다 조금 빠른 편임에도 불구하고 생각의 속도가 빠르며 구조의 이해가 깊다는 것을 알 수 있습니다. 수능이 얼마 남지 않은 지금, 현실적으로 가장 합리적으로 수학 문제를 풀어갈 방법이라면, 예의 격언대로 안 되는 문제는 과감히 버려라는 것입니다. 마치 연금 문제처럼, 이해가 많이 부족한 상태에서 이 문제를 대하면, 한 없이 어지러워 질 뿐이니까요. 그저 자신의 이해가 문제를 따라가지 못한다면 그냥 버리고, 다른 만만한 문제를 찾는 것입니다. ‘함정이 없는 문제’를 잘 풀어내는 것도 좋은 전략이 될 수 있다는 것입니다.

 

그렇다고 생각이 필요 없는 문제는 드물답니다. 첫 페이지 정도. 그렇지만 지금껏 쌓아온 기량이 모르는 문제에서 좌절될 정도는 아닐 것입니다. 받을 수 있는 점수를 최대한 받는 것이 시험의 전략이지, 독립적 찍기의 확률 분포 곡선을 따르는 게 시험은 아니잖아요. 그 확률이 2분의 1일지라도 후회 없는 시험으로 마무리 하려면, 자신이 쌓아온 것들을 증명할 수 있어야 할 것입니다. 그런 의미에서 마무리에 최선을 다하시길.

 

 

 

시험도 이제 닷새 남았군요. 너무 의기소침해지지 마시고… 어려운 문제는 하루 두 세 문제씩만 푸시고^^; 작년의 저처럼 떡 먹고 체하거나 수능 전날 바람 맞아서 감기 걸리는 변고는 없기를 바랍니다. 한 가지 더 말씀 드리자면 시험날, 그냥 평소 모의고사 보는 식으로, 단지 조금 더 충실한 점심시간을 갖는다 생각하고 시험에 임하시길. 괜히 시험을 특별하게 보려고 하면 특별하게 꼬일 수 있으니까, 조심하도록 하세요~!

 

 

 

"정작 위험한 것은, 목적을 위해 수단을 가리지 않음보다, 수단을 위해 목적을 가리지 않는 것이다."

 

 

=수월의 카린= 

<사람에게 필요한 건 끊임없는 변화가 아닌, 갈아 입을 옷이다. 변하지 않는 아름다움으로 변하는 것, 그것은 인간이 아름다워지는 유일한 길. 그 아름다움은 누구도 설명할 수 없고, 또한 어떤 것도 설명될 수 없다.>

두 왕자가 사는집 ♡ ♡ 아름다운 날들 ♡ 구제창고 간단시스템 그린존 비전에이스 프로젝트 센트럴 장금이의 웨딩레시피 ☆ 행운을 나눠주는... 타이비젼